По закону несовершеннолетний ребенок должен быть зарегистрирован по месту жительства одного из родителей (если они проживают раздельно). Каким образом вы оставите зарегистрированным в квартире ребенка, если ни вы, ни мать, там не будете зарегистрированы? Поскольку несовершеннолетний ребенок не имеет доходов, оплату за его содержание, проживание и т.д., несут законные представители - родители. Ваша задолженность по оплате коммунальных услуг будет числиться за вами, пока вы ее не погасите, даже если вы будете выписаны из квартиры.