Здравствуйте, Александр.

Если указанная квартира находится в собственности бабушки, она вправе распоряжаться ею по своему усмотрению. Кому она ее "отпишет" - решать только ей.

Если собственник квартиры ничего не имеет против того, чтобы владелицей данного имущества стала ваша мать, она вправе заключить с ней договор ренты.

Статья 583. Договор ренты

[Гражданский кодекс РФ]

1. По договору ренты одна сторона (получатель ренты) передает другой стороне (плательщику ренты) в собственность имущество, а плательщик ренты обязуется в обмен на полученное имущество периодически выплачивать получателю ренту в виде определенной денежной суммы либо предоставления средств на его содержание в иной форме.

2. По договору ренты допускается установление обязанности выплачивать ренту бессрочно (постоянная рента) или на срок жизни получателя ренты (пожизненная рента). Пожизненная рента может быть установлена на условиях пожизненного содержания гражданина с иждивением.

В этом случае квартира отойдет в собственность вашей матери сразу после заключения указанного договора, а ваша мать будет продолжать ухаживать за бабушкой.

Помимо заключения договора ренты бабушка вправе оформить договор дарения или завещание на имя вашей матери. Однако, если сестра матери нетрудоспособна (пенсионер, инвалид) есть риск, что часть квартиры отойдет в наследство и ей. Поэтому, наиболее оптимальным вариантом является заключение договора ренты или дарения.

Если же бабушка против передачи своей квартиры вашей матери - обязать ее это сделать никто не вправе.

Всего доброго.