Здравствуйте, Юлия.

Во-первых, из Вашего вопроса не ясно, находилась ли указанная в нём квартира в собственности Вашей бабушки или последняя пользовалась ею по договору социального найма, т.е. эта квартира находилась в муниципальной собственности («была не приватизирована»).

Наследовать можно только имущество, находящееся в собственности умершего лица. Если же названная Вами квартира находилась и находится сейчас в муниципальной собственности, то зарегистрировать в ней несовершеннолетнего ребёнка отдельно от его родителей невозможно, поскольку в соответствии со статьёй 20 Гражданского кодекса РФ местом жительства несовершеннолетнего признается место жительства его законного представителя (родителя). Ребенок может быть зарегистрирован только по месту жительства одного из своих родителей, если оба они не лишены родительских прав в отношении данного ребёнка.

Сделать так, чтобы эта квартира досталась в будущем правнуку бабушки можно лишь после приватизации данной квартиры и оформления её новыми собственниками завещания в пользу правнука.

Оформить и заверить у нотариуса обещание о прописке (регистрации) в будущем ребёнка в данной муниципальной квартире невозможно, поскольку такое обещание противоречит закону. После приватизации квартиры оформить её дарение ребёнку после смерти дарителя также юридически невозможно, поскольку это будет противоречить статье 574 ГК РФ и обещание такого дарения может быть оформлено только завещанием.

Всего доброго.